Regra do produto - Problemas resolvidos

1.(F.S.LEOPOLDO-SP)Ao cume de uma montanha conduzem 8 caminhos.De quantos modos uma pessoa pode subir e descer por caminhos diferentes?
a)8!  b)64  c)16   d)56   e)40
2.Quantos são os resultados possíveis de um torneio de xadrez do qual participam 20 jogadores,se o objetivo final do torneio é determinar o campeão e o vice?
3.(FESP)Uma empresa dispõe de 10 funcionários com iguais condições para preencher os cargos de gerente de produção,gerente de vendas e chefe do departamento pessoal.De quantos modos estes cargos podem ser preenchidos?
 a)10!   b)252   c)720   d)240   e)687
4.(UF-CE)Atualmente,as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos.Considerando estas informações,calcule o número de placas distintas que podem ser fabricadas,iniciadas pelas letras HUI,nesta ordem,e cujo último algarismo seja ímpar.
5.A senha de um cadeado é formada por uma sequência de quatro letras,escolhidas entre as 26 do alfabeto.
a)Quantas senhas podemos formar?
b)Quantas senhas com quatro letras distintas podemos formar?
c)Quantas senhas começando por vogal podem ser formadas?
d)Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por vogal?
6.Quantos números de três algarismos existem?Quantos deles são formados por algarismos distintos?

Resoluções
1.Temos que considerar duas etapas: para o caminho da subida,há 8 possibilidades.Para o caminho da descida,há 7 possibilidades,uma vez que a pessoa não poderá descer pelo mesmo caminho que usou para subir.Pela regra do produto,o total de possibilidades é 8.7 = 56. (Alternativa correta:d)

2.Temos:
campeão: 20 possibilidades
vice: 19 possibilidades
São,então,20.19 = 380 resultados possíveis.

3.Aqui temos 3 etapas de escolha:
 gerente de produção - 10 possibilidades
 gerente de vendas - 9 possibilidades
 chefe do departamento pessoal - 8 possibilidades
Os cargos podem ser preenchidos de 10.9.8 = 720 modos. (Alternativa correta:c)

4.Sabemos que o últmo algarismo deve ser ímpar.Há,então,5 possibilidades para o último algarismo da placa:1,3,5,7 e 9.Quanto aos demais algarismos,como pode haver repetições,temos:
Primeiro algarismo - 10 possibilidades
Segundo algarismo - 10 possibilidades
Terceiro algarismo - 10 possibilidades
Assim,o número de placas distintas que podem ser fabricadas é 10.10.10.5 = 5000.

5.a)Como poderá haver repetições,podemos formar 26.26.26.26 = 456 976 senhas.
   b)Como neste caso não poderá haver repetições,podemos formar 26.25.24.23 = 358 800 senhas.
   c)Sabemos que há 5 vogais (a,e,i,o,u).Assim,para a primeira letra da senha,temos 5 possibilidades.
   Quanto às demais letras da senha,como poderá haver repetições,temos:
   segunda letra - 26 possibilidades
   terceira letra - 26 possibilidades
    quarta letra - 26 possibilidades
Podem ser formadas 5.26.26.26 = 87 880 senhas.
 d)Notemos que aqui não poderá haver repetições.
    Para a primeira letra da senha,temos 5 possibilidades,e,para a última,temos 4 possibilidades.Além disso:
    segunda letra - 24 possibilidades
    terceira letra - 23 possibilidades
   Podem então ser formadas 5.24.23.4 = 11 040 senhas.

6.Sabemos que os algarismos são 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. (10 algarismos)
   Números de três algarismos não podem começar por 0.Assim,para o primeiro algarismo,temos 9 possibilidades.Para o segundo algarismo,temos 10 possibilidades e,para o terceiro,temos também 10 possibilidades.Assim,existem 9.10.10 = 900 números de três algarismos.E 9.9.8 = 648 deles são formados por algarismos distintos.
 

Números Reais - Módulo de um número real

Dado um número real x,o módulo ou valor absoluto de x é definido por:
| x | =  x,se x ≥ 0
         -x,se x < 0
Concluímos,pela definição,que o módulo de um número real nunca é negativo.

→Se x é positivo ou nulo,o seu módulo é o próprio x.

→Se x é negativo,o módulo é obtido trocando-se o sinal de x.

→Para todo número real x,tem-se | x | = | -x |

Exercícios resolvidos

1.Calcule:

a) | -8 |

b) | 7 |

c) | 7-3 |

d) | 3 - 7 |

e) | 3 | - | 7 |

f) | 3 | + | -7 |

2.Resolva as equações:

a) | x | = 2

b) | x | = 0

c) | x | = -2

Resoluções

1.a) | -8 | = -(-8) = 8

   b) | 7 | = 7

   c) | 7-3 | = | 4 | = 4

   d) | 3-7 | = | -4 | = -(-4) = 4

   e) | 3 | - | 7 | = 3 - 7 = -4

   f) | 3 | + | -7 | = 3 + 7 = 10

2.a) Devemos ter x = -2 ou x = 2. S = {-2 , 2}

   b)Devemos ter x = 0. S = { 0 }

   c)O módulo de um número real x nunca será negativo.Assim: S = { Ø }

Testes Resolvidos

1.(U.E.Londrina-PR)Seja o número inteiro AB,no qual A e B são os algarismos das dezenas e das unidades,respectivamente.Invertendo-se a posição dos algarismos A e B,obtém-se um número que excede AB em 27 unidades.Se A + B é um quadrado perfeito,B é igual a:
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7

2.(UF-PI)Se x = 1,333... e y = 0,1666...,então x + y é igual a:
a)7/5
b)68/45
c)13/9
d)4/3
e)3/2

Resoluções
1.Observe como procedi para solucionar esse exercício:
 Pensei em A = 3 e B = 6.AB = 36.Invertendo-se a posição dos algarismos A e B: BA = 63. 63 - 36 = 27.E A + B = 3 + 6 = 9 (quadrado perfeito).Então,de fato,A = 3 e B = 6.
Alternativa correta: d

2. Fazemos:
   x = 1,333...  (I)
 10x = 13,33...  (II)
Fazendo (II) - (I):
9x = 12
  x = 4/3

  x = 0,1666...  (I)
 Multiplicando a expressão (I) por 10,obtemos:
  10x = 1,666...  (II)
Multiplicando a expressão (I) por 100,obtemos:
 100x = 16,66...  (III)
Fazendo (III) - (II):
90x = 15
    x = 1/6
E então:
 x + y = 4/3 + 1/6 = 3/2
Alternativa correta: e
     

Números Reais

O conjunto dos números reais (conjunto R) é formado pela união de outros dois conjuntos: o dos números racionais (Q) e o dos números irracionais (I).
R = Q U I
Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b,com a e b inteiros e b diferente de zero.Assim,por exemplo,são racionais: -2          5          0,25           -1/3            -0,23          1,233333...
Os números irracionais são os que não podem ser escritos na forma de fração.Eles têm representação decimal infinita e não periódica.Exemplos:                                                                                                             0,10100110000...              ∏= 3,141592654...            1,414213562...
Obs:Se p é um número positivo e não é quadrado perfeito,então a raiz quadrada de p é um número irracional.
Experimente verificar com a calculadora:obtenha a raiz quadrada dos números 2 , 3 , 6 , 10 ,  1,3 e de outros números positivos à sua escolha que não sejam quadrados perfeitos.Os resultados exibidos na tela da máquina serão sempre números irracionais.

Dízimas Periódicas
As dízimas periódicas são números racionais cuja representação decimal é infinita e periódica.O grupo de algarismos que se repete na dízima é chamado de período da dízima.Exemplos:
1,3333... (Período: 3)
2,626262... (Período: 62)
4,3252525... (Período: 25)
Como são números racionais,as dízimas periódicas podem ser escritas na forma a/b,com a e b inteiros e b diferente de zero.Vejamos alguns exemplos:
a) 1,4444...
Vamos fazer o seguinte:
x = 1,4444... (I)
10x = 14,444... (II)
De (II) subtraindo,membro a membro,(I),temos:
9x = 13
x = 13/9
A fração 13/9 é fração geratriz da dízima periódica 1,4444...

b)1,232323...
x = 1,232323... (I)
100x = 123,2323... (II)
(II) - (I) :
99x = 122
x = 122/99

c)0,1333...
x = 0,1333... (I)
10x = 1,333... (II)
Multiplicando a expressão (I) por 100,fica:
100x = 13,333... (III)
Subtraindo (III) de (II):
90x = 12
x = 12/90    x = 6/45

d)0,123333...
x = 0,123333... (I)
100x = 12,333... (II)
Se multiplicarmos a expressão (I) por 1000,fica:
1000x = 123,333...
E então,subtraindo (III) de (II):
900x = 111
x = 111/900

e)0,3727272...
x = 0,3727272... (I)
10x = 3,727272... (II)
Multiplicando (I) por 1000:
1000x = 372,7272... (III)
E então,fazendo (III) - (II):
990x = 369
x = 369/990      x = 41/110

Exercícios
1.Determine os 6 primeiros algarismos na representação decimal de 355/113.
2.Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica:
a)0,777...
b)1,818181...
c)0,2343434...
3.Ache a fração geratriz do inverso de 1,5.