Números Reais - Módulo de um número real

Dado um número real x,o módulo ou valor absoluto de x é definido por:
| x | =  x,se x ≥ 0
         -x,se x < 0
Concluímos,pela definição,que o módulo de um número real nunca é negativo.

→Se x é positivo ou nulo,o seu módulo é o próprio x.

→Se x é negativo,o módulo é obtido trocando-se o sinal de x.

→Para todo número real x,tem-se | x | = | -x |

Exercícios resolvidos

1.Calcule:

a) | -8 |

b) | 7 |

c) | 7-3 |

d) | 3 - 7 |

e) | 3 | - | 7 |

f) | 3 | + | -7 |

2.Resolva as equações:

a) | x | = 2

b) | x | = 0

c) | x | = -2

Resoluções

1.a) | -8 | = -(-8) = 8

   b) | 7 | = 7

   c) | 7-3 | = | 4 | = 4

   d) | 3-7 | = | -4 | = -(-4) = 4

   e) | 3 | - | 7 | = 3 - 7 = -4

   f) | 3 | + | -7 | = 3 + 7 = 10

2.a) Devemos ter x = -2 ou x = 2. S = {-2 , 2}

   b)Devemos ter x = 0. S = { 0 }

   c)O módulo de um número real x nunca será negativo.Assim: S = { Ø }

Testes Resolvidos

1.(U.E.Londrina-PR)Seja o número inteiro AB,no qual A e B são os algarismos das dezenas e das unidades,respectivamente.Invertendo-se a posição dos algarismos A e B,obtém-se um número que excede AB em 27 unidades.Se A + B é um quadrado perfeito,B é igual a:
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7

2.(UF-PI)Se x = 1,333... e y = 0,1666...,então x + y é igual a:
a)7/5
b)68/45
c)13/9
d)4/3
e)3/2

Resoluções
1.Observe como procedi para solucionar esse exercício:
 Pensei em A = 3 e B = 6.AB = 36.Invertendo-se a posição dos algarismos A e B: BA = 63. 63 - 36 = 27.E A + B = 3 + 6 = 9 (quadrado perfeito).Então,de fato,A = 3 e B = 6.
Alternativa correta: d

2. Fazemos:
   x = 1,333...  (I)
 10x = 13,33...  (II)
Fazendo (II) - (I):
9x = 12
  x = 4/3

  x = 0,1666...  (I)
 Multiplicando a expressão (I) por 10,obtemos:
  10x = 1,666...  (II)
Multiplicando a expressão (I) por 100,obtemos:
 100x = 16,66...  (III)
Fazendo (III) - (II):
90x = 15
    x = 1/6
E então:
 x + y = 4/3 + 1/6 = 3/2
Alternativa correta: e
     

Números Reais

O conjunto dos números reais (conjunto R) é formado pela união de outros dois conjuntos: o dos números racionais (Q) e o dos números irracionais (I).
R = Q U I
Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b,com a e b inteiros e b diferente de zero.Assim,por exemplo,são racionais: -2          5          0,25           -1/3            -0,23          1,233333...
Os números irracionais são os que não podem ser escritos na forma de fração.Eles têm representação decimal infinita e não periódica.Exemplos:                                                                                                             0,10100110000...              ∏= 3,141592654...            1,414213562...
Obs:Se p é um número positivo e não é quadrado perfeito,então a raiz quadrada de p é um número irracional.
Experimente verificar com a calculadora:obtenha a raiz quadrada dos números 2 , 3 , 6 , 10 ,  1,3 e de outros números positivos à sua escolha que não sejam quadrados perfeitos.Os resultados exibidos na tela da máquina serão sempre números irracionais.

Dízimas Periódicas
As dízimas periódicas são números racionais cuja representação decimal é infinita e periódica.O grupo de algarismos que se repete na dízima é chamado de período da dízima.Exemplos:
1,3333... (Período: 3)
2,626262... (Período: 62)
4,3252525... (Período: 25)
Como são números racionais,as dízimas periódicas podem ser escritas na forma a/b,com a e b inteiros e b diferente de zero.Vejamos alguns exemplos:
a) 1,4444...
Vamos fazer o seguinte:
x = 1,4444... (I)
10x = 14,444... (II)
De (II) subtraindo,membro a membro,(I),temos:
9x = 13
x = 13/9
A fração 13/9 é fração geratriz da dízima periódica 1,4444...

b)1,232323...
x = 1,232323... (I)
100x = 123,2323... (II)
(II) - (I) :
99x = 122
x = 122/99

c)0,1333...
x = 0,1333... (I)
10x = 1,333... (II)
Multiplicando a expressão (I) por 100,fica:
100x = 13,333... (III)
Subtraindo (III) de (II):
90x = 12
x = 12/90    x = 6/45

d)0,123333...
x = 0,123333... (I)
100x = 12,333... (II)
Se multiplicarmos a expressão (I) por 1000,fica:
1000x = 123,333...
E então,subtraindo (III) de (II):
900x = 111
x = 111/900

e)0,3727272...
x = 0,3727272... (I)
10x = 3,727272... (II)
Multiplicando (I) por 1000:
1000x = 372,7272... (III)
E então,fazendo (III) - (II):
990x = 369
x = 369/990      x = 41/110

Exercícios
1.Determine os 6 primeiros algarismos na representação decimal de 355/113.
2.Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica:
a)0,777...
b)1,818181...
c)0,2343434...
3.Ache a fração geratriz do inverso de 1,5.